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Motivating goal: Subconvexity for twists \(F\) is a number field. \(\pi:\mathrm{GL}_n\), \(\chi:\mathrm{GL}_1\) \[\begin{align} \label{subconvex-twists} L(\pi\times\chi,&1/2)\ll_\pi C(\chi)^{n/4-\delta}\tag{$\star$} \\ &\Bigg\updownarrow \substack{\text{(Lapid-Mao) $n$ is even, $\pi$ comes from $\mathrm{SO}(n+1)$},\\ \text{$\chi$ quadratic, $C_\mathrm{fin}(\chi)\approx\square$-free}}\notag\\ \text{Fourier} & \text{ coefficients on $Mp_n$}\notag \end{align}\]

Fórmula de Cauchy Teorema 1. Seja \(f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}\) uma função holomorfa e seja \(D = D_{\delta}(z_0)\) tal que \(\overline{D} \subseteq \Omega\). Se \(C\) denota o bordo de D no sentindo positivo.

Na aula passada, vimos que se \(f\) é holomorfa em um dimínio contendo um triângulo T em seu interior, então \[\int_{T}f(z)dz = 0.\] Agora, vamos usar esse resultado para provar o teorema seguinte.

Curvas (continuação) Definição 1. A equivalência de curvas, definida na aula passada é, de fato, uma relação de equivalência e uma curva é uma classe de equivalência de curvas parametrizadas.

Aula de hoje: série de potências. Exemplo: \[e^x =1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+...\] converge para todo \(x\) real e define uma função(infinitamente) diferenciável. Hoje vamos ver, dentre outras coisas que \(e^z = 1+z+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+\cdots\) converge para todo \(z\in \mathbb{C}\) e define uma função holomorfa.

Sequências sobre compactos Definição 1. Seja \(\Omega \subset \mathbb{C}\),\[\operatorname{diam}(\Omega) = \sup_{z,w \in \Omega}|z-w|.\] Proposição 1. \(\Omega\) é limidado \(\Leftrightarrow \operatorname{diam}(\Omega)< \infty.\) Teorema 1. \(\Omega \subset \mathbb{C}\) é compacto se, e somente se, toda sequência \(\{z_n\}\subset \mathbb{C}\) possui uma subsequência que converge oara um ponto \(z \in \Omega\).

Apresentação do curso. Conceitos Gerais Nesse curso, vamos considerar $f: U \rightarrow \mathbb{C}$, onde U é um conjunto aberto de C. Ou seja, a princípio, isto é o mesmo que uma função definida em um aberto de $\mathbb{R}$, a diferença vem a seguir.