Análise complexa - aula 3

Notas por Pedro Igor

Aug 29, 2023 5 min read

Aula de hoje: série de potências.

Exemplo: \[e^x =1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+...\] converge para todo \(x\) real e define uma função(infinitamente) diferenciável.

Hoje vamos ver, dentre outras coisas que \(e^z = 1+z+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+\cdots\) converge para todo \(z\in \mathbb{C}\) e define uma função holomorfa.

Convergência de séries

Definição 1. Uma série de números complexos \(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\) converge para um número complexo \(z\) se para todo \(\epsilon >0\), existe \(N>0,\) tal que se \(m_1>m>M\) então \[\left|\sum_{n=m}^{m_1}z_n\right|<\epsilon.\] Note que isso é equivalente a dizer que a sequência das somas parciais \(S_m = \sum_{n=1}^mz_n\) é uma sequência de Cauchy.

Definição 2. A séire \(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\) convege absolutamente se \(\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\) converge.

Assim como em análise Real, vale que se \(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\) converge absolutamente, então se \(f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) é uma bijeção, então \(\sum_{n=1}^{\infty}z_{f(n)}\) também converge para o mesmo valor. Além disso valem os testes:

  1. Teste da razão: se \(\limsup|\dfrac{z_n}{z_{n+1}}|<1\). Então a série converge absolutamente.

  2. Teste da raiz: se \(\limsup |\sqrt[n]{|z_n|}|<1\) então a série converge absolutamente.
    Lembrete: \(\limsup_{n \rightarrow \infty}z_n = \sup\{L; \exists\) subsequência \(z_{n_k}\) tal que \(z_{n_k}\rightarrow L \}.\)

    Usando qualquer um dos dois testes, vemos que a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{z_n}{n!}\) converge \(\forall z.\)

Definição 3. Uma série de potências é uma expansão da forma \(\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n\) onde \(\{a_n\}_{n \geqslant 0}\) é uma sequência de números complexos.

A idéia é estudar quando a série converge absolutamente.

Proposição 1. Dado umma série de potências \(\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n\), existe \(0 \leqslant R \leqslant \infty\) tal que

  • Se \(|z|<R\), a série converge absolutamente;

  • se \(|z|>R\), a série diverge.

Proof. Seja \(L = \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\), onde \(L \in [0,\infty]\). Suponha inicialmente que \(L \neq 0,\infty\). Neste caso, note que \(\limsup_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n||z^n|} = L\cdot |z|\). Pelo teste da raíz, se \(L|z|<1\), a série converge absolutamente e se \(L|z_n|>1\) a série diverge. Logo, o resultado segue com \(R = \dfrac{1}{L}\). Caso contrário, quando \(L = 0\) ou \(\infty\), temos que \(\limsup \sqrt[n]{|a_n|\cdot |z|^n}=0\) ou \(\infty\), respectivamente. Logo, no primeiro caso a série converge \(\forall z \neq 0\) e no segundo caso a série diverge \(\forall z \neq 0.\) Finalmente, quando \(z = 0\) a série converge trivialmente. ◻

OBS: Quando \(|z| = R\) a proposição nada diz sobre a série e, de fato, nada se pode dizer. Depende de cada caso. Outros exemplos de séries convergentes são \[\cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{z^{2n}}{(2n)!},\quad\operatorname{sen}(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\] e elas coincidem com a definição usual quando \(z \in \mathbb{R}\). Como essas séries convergem uniformemente, podemos somar termo a termo e chegar em \[\cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \operatorname{sen}(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.\]

Em particular, \[e^{iz} = \cos (z) + i \operatorname{sen}(z),\] o que justifica a notação da aula 1.

Definição 4. Dada uma série de potências, o número \(R\) da proprosição acima é chamado de raio de convergência.

Com isso, toda série de potências \(\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n\) define unma função \(f: D_R(0) \rightarrow \mathbb{C}\), dada por \(f(z)= \sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n\).

Teorema 1. Uma série de potências \(f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n\) define uma função holomorfa em seu disco de convergência \(D_R(0) = \{z \in \mathbb{C}; |z|<R\}.\) A derivada de \(f\) também é dada por uma série de potências e é obtida diferenciando termo a dermo. Isto é \[f'(z) = \sum_{n=0}^{\infty}na_nz^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}z^n.\] Além disso, o raio de convergência de \(f'\) é o mesmo de \(f\).

  • \(R_{f'} = R_f\). De fato, \[R_{f'} = \limsup_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{na_n}\] \[\Rightarrow R_{f'} = \limsup_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{|a_n|}\] \[\Rightarrow R_{f'} = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n} \cdot \limsup_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\] \[\Rightarrow R_{f'} = 1 \cdot R_f .\] Note que essa prova usa o seguinte resultado de análise real: se \(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = x>0\) e \(\limsup_{n \rightarrow \infty}y_n = y\), então \(\limsup_{n\rightarrow \infty}x_n\cdot y_n = x\cdot y\).

  • Seja \(g(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}na_nz^{n+1}\) definida em \(D_R(0)\). Seja \(z_0 \in D_R(0)\) e \(r\) tal que \(|z_0|<r<R\). Seja \(N \in \mathbb{N}\), façamos \[f(z) = S_N(z)+E_N(z),\] onde \[S_N(z) = \sum_{n=1}^Na_nz^n,\quad E_N(z) = \sum_{n = N+1}^{+\infty}a_nz^n.\] Dado \(h\) com \(|h|\) suficientemente pequeno \((|z_0+h|<r)\), uma vez que \(S_N(z)\) é polinômio, podemos escrever \[\begin{gathered} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-g(z_0) = \frac{S_N(z_0+h)-S_N(z_0)}{h}-S_N'(z_0) \\ +\frac{E_N(z_0+h)-E_N(z_0)}{h}-(g(z_0) - S_N'(z_0)). \end{gathered}\] Em particular, \[\begin{gathered} \left|\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-g(z_0)\right| \le \left|\frac{S_N(z_0+h)-S_N(z_0)}{h}-S_N'(z_0)\right| \\ +\left|\frac{E_N(z_0+h)-E_N(z_0)}{h}\right| +\Big|(g(z_0)-S_N'(z_0))\Big|. \end{gathered}\] Agora, vamos estimar cada uma das parcelas do lado direito.

    Observe que: \[\left| \dfrac{E_N(z_0+h)-E_N(z_0)}{h} \right| \leqslant \sum_{n = N+1}^{\infty}|a_n|\left| \dfrac{(z_0+h)^n-z_0^n}{h}\right|.\] Mas, \[(z_0+h)^n-z_0^n=h((z_0+h)^{n-1}+(z_0+h)^{n-2}h+...+z_0^{n-1})\] \[\Rightarrow |(z_0+h)^n-z_0^n| \leqslant |h|(r^{n-1}+r^{n-1}+...r^{n-1}) = n|h|r^{n-1}\]

    \[\Rightarrow \left| \dfrac{E_N(z_0+h)-E_N(z_0)}{h} \right| \leqslant \sum_{n = N+1}^{+\infty}n|a_n|R^{n-1}.\] Uma vez que \(r<R\) e \(g(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}na_nz^{n-1}\) converge absolutamente em \(D_R(0)\),\(G_N(r)\) é o rabo de uma série convergente e, portanto, se N for suficientemente grande, temos \(G_N(r)<\epsilon\).
    Por outro lado, pela definição de \(g(z)\), \(\lim_{N \rightarrow \infty}S_N'(z_0) = g(z_0)\). Logo, mais uma vez, para N suficientemente grande , \(|g(z_0)-S_N'(z_0)|<\epsilon .\)
    Conclusão: se N é suficientemente grande, \[\left| \dfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} - g(z_0) \right| \leqslant \left| \dfrac{S_N(z_0+h)-S_N(z_0)}{h}-S_N'(z_0) \right| +2\epsilon.\] Agora, fizemos N e tomamos h suficientemente pequeno, tal que \[\left| \dfrac{S_N(z_0+h)-S_N(z_0)}{h}-S_N'(z_0) \right| < \epsilon\] Ou seja, para h suficientemente pequeno, \[\left| \dfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} - g(z_0) \right| < 2 \epsilon.\] Como \(\epsilon > 0\) é arbitrário, o resultado segue.

Corolário 1. Uma série de potências define uma função infinitamente derivável e todas as suas derivadas são dadas por séries de potências com o mesmo raio de convergência.

Definição 5. Dado \(z_0 \in \mathbb{C}\), uma série de potências centrada em \(z_0\) é uma série da forma \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\) onde \(\{a_n\}_{n\geqslant 0}\) é uma sequência de números complexos.

Todos os resultados sobre séries da forma \(\sum a_nz^n\) continuam válidos trocando \(|z|<R\) por \(|z-z_0|<R\), etc.

Definição 6. Seja \(\Omega\) um domínio e \(f: \Omega \rightarrow \mathbb{C}\). Dizemos que \(f\) é analítica se \(\forall z_0 \in \Omega\), existe \(\delta > 0\) tal que se \(|z-z_0|<\delta\), \(f(z)\) é dado por uma série de potências centrada em \(z_0\). Isto é, existe umma sequência \(\{a_n\}\) dependendo de \(z_0\) tal que \[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\quad |z-z_0|<\delta.\]

OBS: Assim como em \(\mathbb{R}\), valem as formulas \(a_n = \dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\).

Caminhos em \(\mathbb{C}\)

Definição 7. TO BE CONTINUED...

Ramon Nunes
Ramon Nunes
Assistant Professor of Mathematics

My reasearch interests lie in Number theory. More specifically, in Analytic Number Theory. I am also interested in Automorphic forms, specially in its applications to Number Theory.