Análise complexa - aula 5

Na aula passada, vimos que se \(f\) é holomorfa em um dimínio contendo um triângulo T em seu interior, então \[\int_{T}f(z)dz = 0.\] Agora, vamos usar esse resultado para provar o teorema seguinte.

Existência da primitiva

Prova: Dado \(z \in D\), defina \[F(z) = \int_{\gamma}f(w)dw ,\] onde \(\gamma\) é o segmento ligando \(z_0\) a \(z\). Tome \(h \in \mathbb{C}\) pequeno suficiente de modo que \(z+h \in D\).

Olhando para o triângulo cujos vértices são \(z_0,z,z+h\) e usando o Teorema de Goursat,temos: \[F(z)+\int_{\gamma_{h}}f(w)dw - F(z+h) = 0,\] onde \(\gamma_{h}\) é o segmento de reta ligando \(z\) a \(z+h\).Note que assumimos que os pontos não são colineares. O caso que eles são colineares é trivial.Ou seja, \(F(z+h)-F(z) = \int_{\gamma_h}f(w)dw\). Como \(f\) é contínua e \(|z-w|<|h|, \forall w \in \gamma_h\), dado \(\epsilon >0\), existe \(\delta\) tal que se \(|h|< \delta\), então \(|f(w)-f(z)|< \epsilon .\) Consequentemente, \[\int_{\gamma_h}f(w)dw=\int_{\gamma_h}f(z)dw+\int_{\gamma}(f(w)-f(z))dw\] \[= f(z)\cdot [(z+h)-z]+I,\] onde \(|I| \leqslant \epsilon |h|.\)Logo, \[\left| \dfrac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z) \right|< \epsilon.\]

Prova: Como \(f\) possui primitiva, segue de \((Referencia)\) teorema da aula passada.

Interior

Ainda não definimos o que significa o \(\textbf{interior}\) de uma curva, entretanto, para algumas curvas, essa noção é clara. Por exemplo:

Assuma por hoje que para as regioes acima, vale o seguinte:

1. O interior está bem definido;

2. \(\int_{\gamma}f(w)dw\) independe do caminho poligonal \(\gamma\) escolhido.

Com estas hipóteses podemos repetir a prova de teorema do começo da aula e deduzir que \(F\) é uma primitiva de \(f\).Em particular, dado qualquer caminho fechado no interior de um dos exemplos acima, temos que \[\int_{\gamma}f(z)dz = 0.\]

Aplicações ao cálculo de integrais

Exemplos:

1. \[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi x^2} \cdot e^{-2\pi xy}dx = e^{-\pi y^2}.\]
   Como a funcão \(z \rightarrow e^{-\pi z^2}\) é holomorfa em todo o plano complexo \(\mathbb{C}\), temos que \[\int_{\gamma}f(z)dz = 0\] para toda curva fechada \(\gamma\). Considere o caso em que \(\gamma\) é o retângulo cujos vértives são \(-R,R,R+iy,-R+iy\). Sejam \(\gamma_1, \gamma_2,\gamma_3\) e \(\gamma_4\) os segmentos \([-R,R],[R,R+iy],[R+iy,-R+iy],[-R+iy,-R]\), nesta ordem.

   \[\int_{\gamma_1}f(z)dz = \int_{-R}^{R}e^{-\pi x^2}dx\] \[\int_{\gamma_2}f(z)dz = \int_0^y e^{-\pi (R+ix)^2}dx\] \[\int_{\gamma_3}f(z)dz = \int_{-R}^R e^{-\pi (x^2+2ixy -y^2)}dx\] \[\int_{\gamma_4}f(z)dz = \int_0^y e^{-\pi (-R+ix)^2}dx\] Observe que \[\left| \int_{\gamma_2}f(z)dz \right|\leqslant \int_0^y e^{-\pi (R^2-x^2)}dx \leqslant \int_0^y e^{-\pi(R^2-y^2)}dx = ye^{\pi y^2} \cdot e^{-\pi R^2}\] Em particular, \(\int_{\gamma_2}f(z)dz \rightarrow 0\) quando \(R \rightarrow +\infty\). De maneira análoga, \(\int_{\gamma_4}f(z)dz \rightarrow 0\) quando \(R \rightarrow +\infty .\) Por fim , \[\int_{\gamma_3}f(z)dz = - \int_{-R}^{R}e^{-\pi(x+iy)^2}dx = -e^{\pi y^2} \int_{-R}^Re^{-\pi(x^2+2ixy)}dx\] Fazendo \(R \rightarrow 0:\) \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}dx - e^{\pi y^2} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi(x^2+2xyi)}dx = 0\] \[\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi (x^2+2ixy)}= e^{-\pi y^2} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi x^2}dx = e^{-\pi y^2}.\] Para ver que \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi x^2}dx = 1\), podemos, por exemplo, utilizar o teorema de Fubini: \[I = \int e^{-\pi x^2}dx \Rightarrow I^2 = \int \int e^{-\pi (x^2+y^2)}dx dy ,\] usando coordenadas polares, \[I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} r dr d \theta = 2\pi \left[ \dfrac{e^{-\pi x^2}}{-2\pi} \right]_0^{+\infty} = 1\]

2. \[\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx = \frac{\pi}{2}.\] Note que \(\cos (x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), então basta mostrar que \[\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1-e^{-ix}}{x^2} = \pi .\]

   Seja \(\gamma\) o contorno do semi-anel superior (\(\mathrm{Im}(z)>0\)) de raio interior \(\epsilon\) e exterior R.

   Sejam \(\gamma_R\) o semicírculo de raio \(R\) partindo de \(R\) e terminando em \(-R\), \(\gamma_{\epsilon}\) o semicírculo de raio \(\epsilon\) partindo de \(\epsilon\) e terminando em \(-\epsilon\), \(\gamma^-\) o segmento \([-R,-\epsilon]\) e \(\gamma^+\) o segmento \([\epsilon,R]\). Observe que o integrando é dado por uma função holomorfa no interior da curva \(\gamma\). Logo, temos

   \[\int_{\gamma}\frac{1-\cos z}{z^2}dz=0.\]

   Note que para todo \(z=x+iy\in \gamma_R\), tem-se \(y>0\) e, portanto, vale a desigualdade \[\left|\frac{1-e^{iz}}{z^2}\right|\leq \frac{1+|e^{iz}|}{z^2}=\frac{1+e^{-y}}{z^2}\leq \frac{2}{z^2}.\] E, portanto, \[\begin{aligned} \left|\int_{\gamma_R}\frac{1-\cos z}{z^2}dz \right|&\leq \sup_{z\in \gamma_R}\left(\frac{2}{|z|^2} \right)\cdot \pi R\\ &=\frac{2\pi R}{R^2}=\frac{2\pi}{R}\xrightarrow[R\rightarrow +\infty]{} 0. \end{aligned}\] Lembre que \[e^{iz}=1+iz+\frac{(iz)^2}{2}+\frac{(iz)^3}{3!}+\ldots.\] Logo, \(e^{iz}=1+iz+z^2g(z)\), onde \(g(z)\) é uma função holomorfa. Com isso, conclu ’imos que \[\frac{1-e^{iz}}{z^2}=\frac{-i}{z}-g(z).\] Já que \(g\) é holomorfa, existe uma constante positiva \(C\) tal que \(|g(z)|<C\) sempre que \(|z|<1\). Isto nos permite escrever \[\int_{\gamma_\epsilon}\frac{1-\cos z}{z^2}dz=-I_1-I_2,\] onde \(I_1=\int_{\gamma_\epsilon}\frac{dz}{z}\) e \(I_2=\int{\gamma_\epsilon}g(z)dz\). Note que para todo \(\epsilon\) suficientemente pequeno, \[|I_2|\leq C\cdot \pi \epsilon.\] Por outro lado, \[I_1=\int_0^\pi\frac{\epsilon i e^{it}}{\epsilon e^{it}}dt=i\int_0^\pi dt=i\pi.\]

   Fazendo \(R\rightarrow\infty\) e \(\epsilon\rightarrow 0\), temos

   \[\int_{-\infty}^\infty\frac{1-\cos x}{x^2}dz=-\pi\]

   Na próxima aula, provaremos o seguinte resultado:

   Teorema 2 (Fórmula integral de Cauchy). Seja \(f\) uma função holomorfa em um aberto contendo o feixo de um disco aberto \(D=D_R(z_0)\). Seja \(C\) o contorno do disco \(D\) com orientação positiva. Então \[f(z)=\int_{C}\frac{f(w)}{w-z}dw,\quad z\in D\]