Análise complexa - aula 6

Fórmula de Cauchy

PV. Observe que a função \(f(w) = \dfrac{f(w)}{w-z}\) é holomorfa em \(\Omega - \{z\}\). Em particular ela é holomorfa no interior do contorno \(\Gamma_{\delta , \epsilon}\). Logo, pelo teorema de Cauchy, \[\int_{\Gamma_{\delta,\epsilon}}F(w)dw = 0.\] Fazendo \(\epsilon \rightarrow 0\), obtemos que : \[\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\Gamma_{\delta , \epsilon}}F(w) dw = \int_{C}F(w)dw - \int_{C_{\delta}}F(w)dw+\int_{\gamma_0}F(w)dw - \int_{\gamma_0}F(w)dw\]

\[\Rightarrow \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\Gamma_{\delta , \epsilon}}F(w) dw = \int_C \dfrac{f(w)}{w-z}dw - \int_{C_{\delta}}\dfrac{f(w)}{w-z},\] onde \(\gamma_0\) é o segmento do raio que passa por \(z\) e liga \(C_{\delta}\) a \(C\). Como a igualdade acima é independente de \(\delta\) temos que \[\int_{C}\dfrac{f(w)}{w-z}dw = \lim_{\delta \rightarrow 0} \int_{C_{\delta}} \dfrac{f(w)}{w-z}dw.\] Como \(f\) é holomorfa em \(z\), dado \(\epsilon >0, \exists \delta > 0\) tal que se \(|w-z| \leqslant \delta,\) então \[\left| \dfrac{f(w)-f(z)}{w-z} - f'(z) \right| < \epsilon .\] Isto implica que \[\left| \int_{C_{\delta}} \left( \dfrac{f(w)}{w-z} - \dfrac{f(z)}{w-z} - f'(z) \right) dw \right| < 2 \pi \epsilon \delta .\] Mas, observe que \[\int_{C_{\delta}}\dfrac{f(z)}{w-z}dw = f(z) \int_{C_{\delta}} \dfrac{dw}{w-z} = f(z) \int_0^{2 \pi} \dfrac{i \delta e^{i \theta}}{\delta e^{i \theta}}d \theta = 2 \pi i f(z)\]. Além disso, sabemos que \[\int_{C_{\delta}}f'(z) dw = 0\] Logo, podemos concluir que \[\left| \int_{C_{\delta}} \dfrac{f(w)}{w-z}dw - 2 \pi i f(z) \right| = \left| \int_{C_{\delta}} \left( \dfrac{f(w) - f(z)}{w-z} - f'(z) \right) dw \right| < 2 \pi \epsilon \delta < 2 \pi \epsilon.\] Note que a última igualdade vem do fato que poderiamos ter tomado \(\delta < 1.\) Portanto , \[\lim_{\delta \rightarrow 0}\int_{C_{\delta}} \dfrac{f(z)}{w-z}dw = 2 \pi i f(z).\] Concluímos a demonstração lembrando que \(\int_C \dfrac{f'(z)}{w-z}dw = \int_{C_{\delta}}\dfrac{f(w)}{w-z}dw\).

Corolários

PV. Seja \(z \in \Omega\) e h suficientemente pequeno de modo que \(z+h \in D.\) Então, \[f(z+h)-f(z) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{C} \dfrac{f(z)}{w-z-h}dw - \dfrac{1}{2\pi i}\int_C \dfrac{f(w)}{w-z}dw\] \[\Rightarrow f(z+h)-f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C f(w) \left[ \dfrac{1}{w-z-h}- \dfrac{1}{w-z} \right] dw.\] Observe que \(\dfrac{1}{w-z-h}- \dfrac{1}{w-z} = \dfrac{h}{(w-z)(w-z-h)}\). Portanto, \[\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = \int_C \dfrac{f(w)}{(w-z)(w-z-h)}dw\] Queremos mostrar que \(I_h \rightarrow I:= \int_C \dfrac{f(w)}{(w-z)^2}dw\) quando \(h \rightarrow 0\). De fato, \[I_h-I = \int_C \dfrac{f(w)}{w-z}\left( -\dfrac{1}{w-z-h}+ \dfrac{1}{w-z} \right) dw = \int_C \dfrac{f(w)h}{(w-z)^2(w-z-h)}dw\] Então, se \(|h|< \dfrac{|w-z|}{2},\) temos: \[\left| \dfrac{f(w)h}{(w-z)^2(w-z-h)} \right| \leqslant \dfrac{2 \sup_{w \in C}|f(w)| \cdot |h|}{|w-z|^3} \leqslant M \cdot |h|\] Onde M é uma constante. Lembre que \(z\) e \(C\) estão fixos. Portanto: \(|I - I_h| \leqslant M \cdot |h| \cdot l(c) \leqslant M' |h|,\) onde \(M'\) é uma outra constante. Com isso concluímos que \(I_h \rightarrow I\) quando \(h \rightarrow 0\) e completamos a prova para \(n = 1.\) Vamos agora considerar o caso geral. Ultilizaremos indução. O caso inicial(\(n =0\)) é a fórmula de Cauchy (e o caso \(n = 1\) foi demonstrado). Suponha agora que a fórmula seja válida para um certo valor \(n\), isto é: \[f^{(n)}(z) = \dfrac{n!}{2i\pi}\int_C \dfrac{f(z)}{(w-z)^{n+1}}dw , \forall z \in D.\] Seja, mais uma vez, \(h\) suficientemente pequeno, temos

PV. Pelo corolário acima, \[f^{(n)}(z) = \dfrac{n!}{2i\pi}\int_C \dfrac{f(z)}{(w-z)^{n+1}}dw\] \[\Rightarrow |f^{(n)}(z_0)| \leqslant \dfrac{n!}{2\pi} \cdot \dfrac{\sup_{w \in C}|f(w)|}{R^{n+1}} \cdot 2\pi R\]

PV. Observe que \[\dfrac{1}{w-z} = \dfrac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)} = \dfrac{1}{w-z}\left( \dfrac{1}{1- \dfrac{z-z_0}{w-z_0}} \right).\] Como \(z \in D\), existe \(r < 1\) tal que \[\dfrac{|z-z_0|}{w-z_0}<r<1.\] Em particular, temos pela série geométrica que \[\dfrac{1}{1- \dfrac{z-z_0}{w-z_0}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{z-z_0}{w-z_0} \right) ^n ,\] com convergência uniforme em relação a w. Portanto, pela fórnula de Cauchy, temos : \[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C}\dfrac{f(z)}{w-z}dw\] \[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i}\int_{C} \dfrac{f(w)}{w-z_0}\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \dfrac{z-z_0}{w-z_0} \right)^n dw\] \[f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}(z-z_0)^n \cdot \dfrac{1}{2\pi i } \int_C \dfrac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}dw\] \[f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f^(n)(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n ,\] onde, no último passo, utilizaremos o primeiro corolário decorrente das fórmulas de Cauchy.